= (4) rˆ {1} (ν. Coulomb) Ασκήσεις Φυσικής ΙΙ

Transcript

1 Ασκήσεις Φυσικής ΙΙ Να υπολογισθεί η ασκούμενη επί του σημειακού φορτίου Q δύναμη oulomb από το επίσης σημειακό φορτίο Q. Δεδομένα: Q μ 4 Q 3 μ 3 5 Ζητούμενα: F Χρήσιμες σχέσεις: qq k F {} (ν. oulomb) () 3 3 () ( ) ( ) ( ) () ( ) 3 (3) Έλεγχος: o.k.! q q {} F k {} F ( 4) &( 3) F ( )( 3 ) N F F (4) 4 4

2 Ασκήσεις Φυσικής ΙΙ Να υπολογισθεί η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου, το οποίο δημιουργείται από τα σημειακά φορτία Q και Q στο σημείο P. Δεδομένα: Q 5 n 5 9 Q 8 n 8 9 Ζητούμενα: E P Χρήσιμες σχέσεις: E N E Ei i 4πε N i q i i i (3,,3) Q 3 E E P (,3,3) E k Q k Q P {} 3 3 Q (3,3,) 3 3 3/ / / / 8 E Q k Q k {}: P ( 8) , 988 ( 8) , 988 E P 4, 59 77,, E ( 4, 59) ( 77, ) (, 8) 5, 67 V m P /

3 Ασκήσεις Φυσικής ΙΙ i E E e t i / ( ) u'i {} uq/ Παράδειγμα: Να υπολογισθεί η ενέργεια του πλήρως φορτισμένου πυκνωτή κυκλώματος, όταν γνωρίζουμε, ότι κατά την διάρκεια της φόρτισης, η τάση u του πυκνωτή και το ρεύμα i του κυκλώματος δίδονται από τις α κόλουθες σχέσεις: ( ) u E[ e t / ] {} (3.9): W uidt t t {}&{ } W E e t E e t dt E e t dt e t dt e a d e a E W a E e [ ( )] E t e t E Πόση είναι η ενέργεια του πυκνωτή μετά από μια σταθερή χρόνου από την έναρξη της φόρτισης; e e W ( t ) E

4 Ασκήσεις Φυσικής ΙΙ Ευθύγραμμος ρευματοφόρος αγωγός μήκους l m, ο οποίος διαρρεεται από συνεχές ρεύμα εντάσεως I, είναι τοποθετημένος κατά μήκος του άξονα εντός ομογενούς μαγνητικού πεδίου έντασης,5 Τ. Η ένταση του μαγνητικού πεδίου σχηματίζει γωνία θ 3 ο, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Ζητείται η δύναμη Loent επί του παραπάνω α γωγού.,5 T l m θ 3 ο I F L sinθ cosθ l F L ; ος τρόπος: F L Ilsin θ,5 sin( 3) F L 3 N {} κανόνας Σχήμα δεξιόστροφου κοχλία F F { } L L F L 3 ος τρόπος: FL I[ l ] l I l l l l l {} l Β sin θ l l & Β cos θ {} l F I l L (,5 sin 3) FL FL 3ẑ 3

5 D. hassapis T.E.I. Sees Phsik II Volesung Δέσμη ηλεκτρονίων κινείται με ταχύτητα 5 m/s ομογενούς μαγνητικού πεδίου έντασης, Τ υπό γωνία θ 6 ο, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Ζητείται η δύναμη Loent επί ενός πρωτονίου (q ηλ,6 9 )., T v 5 m/s q,6 9 F L Σ F L ; θ v q v v cosθ v v v v sinθ ος τρόπος: qvsin θ {} Σχήμα 9 5 F L (,6 )( )(,) sin 6 κανόνας δεξιόστροφου κοχλία ος τρόπος: FL q[ v ] F v v q v v v v L F L {} { } F L F L 5,54 5, N v vcosθ Β, v v vsin θ & Β {} v F q v L,6 sin 6, 5 9 FL FL 5,54 5 5,54 5

6 . Ηλεκτρικό πεδίο ΣΤΑΤΙΚΟΣ ΗΛΕΚΤΡΙΣΜΟΣ Ηλεκτρισμός ονομάσθηκε (Θαλής ο Μιλήσιος, 6 π.χ.) η ιδιότητα του ήλεκτρου να έλκει, αφού τριφθεί με στεγνό ύφασμα, μικρά κομμάτια άχυρου. Μαγνητισμός ονομάσθηκε η ιδιότητα του μαγνητίτη ( Fe3O4,) να έλκει τον σίδηρο. Αρχικά Ηλεκτρισμός και Μαγνητισμός εθεωρούντο ανεξάρτητα φαινόμενα. Αργότερα όμως αποδείχθηκε ότι πρόκειται για τις δύο όψεις του ίδιου νομίσματος: του Ηλεκτρομαγνητισμού. Στα επόμενα κεφάλαια θα ασχοληθούμε με τον στατικό ηλεκτρισμό, την μελέτη δηλαδή ακίνητων ηλεκτρικών φορτίων.. Το ηλεκτρικό φορτίο Δομικός λίθος του Ηλεκτρομαγνητισμού είναι το ηλεκτρικό φορτίο. Χωρίς αυτό δεν θα υπήρχαν τα διάφορα ηλεκτρομαγνητικά φαινόμενα. Μάλιστα ο μεν Ηλεκτρισμός απαιτεί α πλώς την ύπαρξη, ο δε Μαγνητισμός επιπλέον και την κίνηση των ηλεκτρικών φορτίων. Πειραματικά αποδείχθηκαν οι ακόλουθες θεμελιώδεις ιδιότητες του ηλεκτρικού φορτίου:. το ηλεκτρικό φορτίο εμφανίζεται με δύο μορφές, οι οποίες χαρακτηρίζονται σαν θετική και αρνητική. τα ομώνυμα φορτία απωθούνται ενώ τα ετερώνυμα έλκονται. το συνολικό φορτίο ενός κλειστού κυκλώματος ( σύστημα το οποίο δεν ανταλλάσσει ύλη με το περιβάλλον) διατηρείται σταθερό. Μάλιστα το συνολικό φορτίο ενός τέτοιου συστήματος είναι ανεξάρτητο από την κινητική του κατάσταση, πράγμα το οποίο δεν ισχύει και για την μάζα του. 3. το ηλεκτρικό φορτίο είναι κβαντισμένο: υπάρχει σε τυποποιημένα και όχι σε τυχαία, συνεχή ποσά: Πείραμα του Millikan: όλα τα μετρούμενα στην φύση ηλεκτρικά φορτία είναι ακέραια πολλαπλάσια του στοιχειώδους ηλεκτρικού φορτίου e,6 9 : παρατηρούμενα στη φύση φορτία: όπου n ακέραιος αριθμός, < n <. Φορτίο πρωτονίου: q n e [.] q p e Φορτίο ηλεκτρονίου: e Ο κλασικός Ηλεκτρομαγνητισμός αγνοεί την κβάντωση του φορτίου μια και μελετά η λεκτρομαγνητικά φαινόμενα σε μακροσκοπική κλίμακα.. Ο νόμος του oulomb: Δύναμη μεταξύ δύο ακινήτων ηλεκτρικών σημειακών φορτίων: q q :μοναδιαίο διάνυσμα στην κατεύθυνση,, q e D. hassapis Phsik II T.E.I. Sees

7 Νόμος του oulomb: qq k F [.] ( ), ε διηλεκτρική σταθερή του μέσου εντός του οποίου βρίσκονται τα φορτία 4πε q και q. (Βλ. Πίνακα..) k SI Διηλεκτρική σταθερή του κενού: ε 8,854 ( Nm ) / Πίνακας..: Διηλεκτρική σταθερή ε διαφόρων διηλεκτρικών Οι παρακάτω τιμές πρέπει να πολλαπλασιασθούν επί ε 8,854 /(Nm ) Αέρας (κ.σ.),594 Ελαιόλαδο 3 Άζωτο (κ.σ.),58 Ήλιο(κ.σ.),66 Αργό (κ.σ.),54 Μάρμαρο 8,44 Ασβέστης 4,8 Ναφθαλίνη 3,78 Άσφαλτος,66 Νερό 8 Βαζελίνη,,3 Νιτροβενζόλιο 35,5 Βακελίτης 35 Οξυγόνο (κ.σ.),486 Βενζόλιο,8 Παραφίνη, Βρώμιο 3, Πετρέλαιο, Γυαλί 35 Πολυστυρόλη,3,5 Γλυκερίνη 4, Τέφλον O (κ.σ.),985 (κ.σ. κανονικές συνθήκες: o,,3 ba) Χαλαζίας 3,54,5 χαρτί 5 H εξίσωση [.] ισχύει απόλυτα όταν το περιβάλλον μέσο εκτείνεται απεριόριστα προς όλες τις κατευθύνσεις, είναι ομογενές και ισότροπο. Παρατηρήσεις: Στην εξίσωση [.] α) Τα φορτία λαμβάνονται μαζί με το πρόσημό τους. β) Το έχει φορά προς το φορτίο, το οποίο δέχεται την δύναμης F. γ) Στην περίπτωση ομωνύμων φορτίων τα διανύσματα F και είναι ομόρροπα, ενώ στην αντίθετη αντίρροπα: δ) Η δύναμη oulomb μεταξύ δύο σημειακών φορτίων είναι ανεξάρτητη από την παρουσία άλλων φορτίων. Ολική δύναμη oulomb σε ένα σημειακό φορτίο από άλλα σημειακά φορτία: Με την βοήθεια της εξίσωσης [.] υπολογίζουμε την δύναμη, την οποία δέχεται το συγκεκριμένο φορτίο από το καθένα των υπολοίπων χωριστά, και στην συνέχεια προσθέτουμε διανυσματικά όλες αυτές τις δυνάμεις (Αρχή της γραμμικής υπερθέσεως): D. hassapis Phsik II T.E.I. Sees

8 3 N qi α) Σύστημα Ν σημειακών φορτίων q i : F qk i i i [.α] όπου i μοναδιαίο διάνυσμα στην κατεύθυνση q i q β) Συνεχής κατανομή φορτίου: dq F kq d ρdv ρ kq F kq dv [.β] dv df όπου ρ :dq/dv πυκνότητα φορτίου dq q (αν το φορτίο κατανέμεται επιφανειακά (ή γραμμικά), αντικαθιστούμε την πυκνότητα φορτίου με την επιφανειακή πυκνότητα φορτίου σ dq/ds (ή γραμμική πυκνότητα φορτίου λ dq/dl ), και το στοιχείο όγκου dv με το στοιχείο επιφάνειας ds (ή μήκους dl)) Παράδειγμα..: H ακτίνα της τροχιάς του ηλεκτρονίου στο άτομο του υδρογόνου ισούται με 5,3 m. Να συγκριθούν τα μέτρα των δυνάμεων oulomb και παγκόσμιας έλξης μεταξύ του πρωτονίου και του ηλεκτρονίου. Δίδονται: οι μάζες: m p,67 7 kg, m e 9, 3 kg και η σταθερή της παγκόσμιας έλξης G6,67 Νm kg Νόμος του oulomb : F 4πε q q 4 3,4 8,854 mm Νόμος της παγκόσμιας έλξης: F N G 47 F N 3,6 N Λύση,6 9,6 ( 5,3 ) 6,67, , ( 5,3 ) 8 F 8, Η παγκόσμια έλξη μεταξύ ηλεκτρονίου και πρωτονίου στο άτομο του υδρογόνου είναι κατά 39 φορές περίπου ασθενέστερη από την αντίστοιχη έλξη oulomb. Παράδειγμα..: Σωματίδιο φορτίου q κινείται επί της μεσοκάθετης, του ευθυγράμμου τμήματος, το οποίο ορίζεται από τα κέντρα δύο άλλων, ακινήτων σωματιδίων φορτίου q. Ζητείται η θέση στην οποία το κινούμενο σωματίδιο δέχεται την μέγιστη δύναμη oulomb. b/ b/ q q θ F q θ F F Λύση 3 Συμμετρία και ισότητα ακινήτων: oulomb σχήμα qq qq F F k k b/ ( ) {} Η συνισταμένη F των δύο αυτών δυνάμεων ισούται με το άθροισμα των οριζοντίων τους συνιστωσών (οι κατακόρυφες συνιστώσες είναι ίσες και αντίθετες): D. hassapis Phsik II T.E.I. Sees 3 Σχήμα Π... N

9 διά 4 {} qq ( ) qq F F cosθ k F k ( ) ( ) ( ) b / b / σχήμα b / [ ( ) ] F kqq {} 3 / b / Η παραπάνω συνάρτηση γίνεται μέγιστη όταν μηδενίζεται η πρώτη: παραγώγιση σαν πηλίκο συναστήσεων df! και μηδενισμός του αριθμητή b 3 b! F ma d 4 4 b b 3 ± ± / ( b / 4).3 Η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου Η αλληλεπίδραση μεταξύ απομακρυσμένων σωματιδίων ή σωμάτων αποδίδεται στην δράση κάποιου φυσικού πεδίου. Το ηλεκτροστατικό πεδίο πηγάζει από ακίνητα ηλεκτρικά φορτία, είναι εξ ορισμού χρονικά αμετάβλητο και αποτελεί ειδική περίπτωση του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου, το οποίο δημιουργείται από κινούμενα ηλεκτρικά φορτία. Ένταση του ηλεκτροστατικού πεδίου: καλείται το διανυσματικό μέγεθος E, το οποίο έχει την διεύθυνση και φορά της δύναμης F, η οποία ασκείται σε (συμβατικά!) θετικό μοναδιαίο φορτίο q, το οποίο βρίσκεται στο συγκεκριμένο σημείο: F E [.3] F qe ( Το q μαζί με το πρόσημο του! ) [.4] q η δύναμη, η οποία ασκείται σε θετικά φορτία, έχει την διεύθυνση και φορά της έ ντασης του πεδίου η δύναμη, η οποία ασκείται σε αρνητικά φορτία, έχει την διεύθυνση της έντασης του πεδίου αλλά αντίθετη προς αυτήν φορά. 3 Απλούστερη μορφή πεδίου είναι το λεγόμενο ομογενές: η ένταση είναι σε όλα του τα σημεία η ίδια..4 υναμικές γραμμές: σχεδιάζονται έτσι ώστε α) Η διεύθυνση της εφαπτομένης σε κάποιο σημείο μιας δυναμικής γραμμής συμπίπτει με εκείνη της έντασης του πεδίου στο σημείο αυτό. β) Η φορά των ηλεκτρικών δυναμικών γραμμών συμπίπτει με την φορά της έντασης. Ε πομένως οι ηλεκτρικές δυναμικές γραμμές (ενός ηλεκτροστατικού πεδίου) πηγάζουν από θετικά και καταλήγουν σε αρνητικά φορτία γ) Ο αριθμός των δυναμικών γραμμών, οι οποίες διέρχονται από μοναδιαία επιφάνεια, κάθετη στην ένταση του πεδίου στο κέντρο της μοναδιαίας επιφάνειας, είναι ανάλογος προς b b D. hassapis Phsik II T.E.I. Sees 4

10 5 το μέτρο της έντασης στο σημείο αυτό. Έτσι όπου το πεδίο είναι ισχυρό, οι δυναμικές γραμμές πυκνώνουν, όπου είναι ασθενές, αραιώνουν. οι δυναμικές γραμμές ομογενούς πεδίου είναι ευθείες παράλληλες και ισαπέχουσες..5 Ροή του ηλεκτρικού πεδίου ds θ E ds ds εμβαδόν στοιχειώδους ε πιφάνειας ds, κάθετης στο d S φάνειας. S i Σχήμα.4 Σχήμα.5: Υπολογισμός της ροής μέσω τυχαίας επιφάνειας. E i Στοιχειώδης ηλεκτρική ροή dφ μέσω στοιχειώδους επιφάνειας ds, εντός ηλ. πεδίου E : dφ E ds E ds cosθ [.5] ( ) στοιχειώδης ηλεκτρική ροή αριθμός δυναμικών γραμμών, οι οποίες διαπερνούν («κάθετα») την επιφάνεια ds. ηλεκτρική ροή μέσω τυχαίας ανοιχτής επιφάνειας S: Φ n lim E ΔS E ds [.5α] ΔS i n i i S επιφανειακό ολοκλήρωμα ηλεκτρική ροή μέσω τυχαίας κλειστής επιφάνειας S: Φ ΕdS [.5β] S Παράδειγμα.5.: Να υπολογιστεί η ηλε S ds ds ds κτρική ροή μέσω κλειστής S 3 E S κυλινδρικής ε πιφάνειας εντός ομογενούς ηλεκτρικού πεδίου, η διεύθυνση της έντασης του οποίου συμπίπτει με τον άξονα συμμετρίας της επι Λύση Η κλειστή κυλινδρική επιφάνεια χωρίζεται με βάση τον προσανατολισμό του διανύσματος ds σε τρεις υποεπιφάνειες: την παράπλευρη επιφάνεια και τις δύο βάσεις. [.5 β]: Φ EdS EdS EdS EdS S S S S3 E cos θ ds E cos θ ds E cos θ ds 3 S S S3 D. hassapis Phsik II T.E.I. Sees 5

11 6 E σταθ. E cos ds cos 9dS S S S3 cos 8dS E ds S S3 ( ) S ds S3 π π E[ π π ] Φ ( ακτίνα του κυλίνδρου)..6 Ο νόμος του Gauss Σε πολλές περιπτώσεις, ο υπολογισμός της έντασης του ηλεκτροστατικού πεδίου απλοποιείται δραματικά με την βοήθεια του νόμου του Gauss: Φ ΕdS S q ε (Νόμος του Gauss) [.6] q ολικό φορτίο εντός της κλειστής επιφάνειας Σύμφωνα με τον νόμο του Gauss η ηλεκτρική ροή μέσω οποιασδήποτε κλειστής επιφάνειας ισούται με το πηλίκο του ολικού φορτίου, το οποίο βρίσκεται εντός της επιφάνειας, προς την διηλεκτρική σταθερή του κενού. Ο νόμος του Gauss αποτελεί μια από τις τέσσερις θεμελιώδεις εξισώσεις της Ηλεκτρομαγνητικής Θεωρίας («εξισώσεις του Mawell»). Συνδέει το ηλεκτρικό πεδίο με τις πηγές του, τα ηλεκτρικά φορτία, γεγονός το οποίο συντελεί στην βαθύτερη κατανόηση της φύσης του πεδίου αυτού. Αποτελεί δε προϊόν α) του νόμου του αντιστρόφου τετραγώνου, ο οποίος διέπει την δύναμης oulomb. β) του κεντρικού χαρακτήρα της δύναμης oulomb, γ) της αρχής της γραμμικής υπερθέσεως. Με την βοήθεια του νόμου του Gauss μπορούμε, όταν γνωρίζουμε την ένταση του πεδίου, να υπολογίσουμε το φορτίο, το οποίο περιέχεται σε μια περιοχή, πράγμα το οποίο δεν συμβαίνει με τον νόμο του oulomb. Επιπλέον ο νόμος του Gauss αποτελεί ένα χρήσιμο εργαλείο υ πολογισμού της έντασης του ηλεκτροστατικού πεδίου, όπως θα διαπιστώσουμε κατά τις ακόλουθες εφαρμογές η ) Πεδίο σφαιρικής κατανομής φορτίου: Σφαιρική κατανομή φορτίου: το φορτίο που περιέχεται στην μονάδα του όγκου εξαρτάται μόνο από την απόσταση από το λεγόμενο κέντρο της σφαιρικής κατανομής. Λόγω της σφαιρικής συμμετρίας το μέτρο της έντασης θα είναι το ίδιο σε όλα τα σημεία μιας τυχαίας σφαιρικής επιφάνειας, της οποίας το κέντρο συμπίπτει με E εκείνο της σφαιρικής κατανομής και η διεύθυνσή της θα συμπίπτει με την διεύθυνση της ακτίνας της σφαιρικής επιφάνειας. Σχήμα.8: Σφαιρική κατανομή φορτίου. Σύμφωνα με τον νόμο του Gauss η ροή μέσω μιας τέτοιας επιφάνειας Gauss είναι: D. hassapis Phsik II T.E.I. Sees 6

12 E S Ε σταθ. S σφαιρική q Φ q ε EdS EdS EdS Ε ds Ε4π q ε E [.7] 4πε S S S S (Ένταση του πεδίου σφαιρικής κατανομής φορτίου σε απόσταση από το κέντρο της) q είναι το φορτίο εντός σφαιρικής επιφάνειας ακτίνας και κέντρου ίδιου με εκείνο της σφαιρικής κατανομής. το ηλεκτρικό πεδίο (στο εξωτερικό) μιας σφαιρικής κατανομής φορτίου είναι το ίδιο με το πεδίο που θα παρατηρούσαμε, αν το ολικό της φορτίο ήταν συγκεντρωμένο στο κέντρο της. q Στην περίπτωση λοιπόν σημειακού φορτίου q η [.7] γράφεται: E. 4πε Η δύναμη που ασκείται σε ο σημειακό φορτίο q σε απόσταση από το πρώτο θα είναι: q q F qe Δηλαδή η δύναμη oulomb. Με άλλα λόγια 4πε ο νόμος του oulomb αποτελεί εφαρμογή του νόμου του Gauss για την περίπτωση σφαιρικής κατανομής φορτίου. επιφάνεια Gauss E E Παρατήρηση: Στην περίπτωση που η σφαιρική επιφάνεια Gauss βρίσκεται εντός της σφαιρικής κατανομής το πεδίο επί της επιφάνειας έχει την τιμή που θα είχε, αν όλα τα φορτία του εσωτερικού της ευρίσκοντο στο κέντρο της και δεν υπήρχαν φορτία στο εξωτερικό της. Αυτό σημαίνει η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου στο εσωτερικό ενός φορτισμένου σφαιρικού φλοιού είναι ίση με μηδέν. Σχήμα.9: Πεδίο στο εσωτερικό: σφαιρικής κατανομής φορτίου (επάνω) και σφαιρικού φλοιού (κάτω). E l ds Σχήμα.: Υπολογισμός του πεδίου λεπτού ευθυγράμμου σύρματος με τον νόμο του Gauss. Σημειωτέον ότι τα ιόντα, από τα οποία αποτελούνται οι ιοντικοί κρύσταλλοι, μπορούν να θεωρηθούν σφαιρικές κατανομές φορτίου. Το γεγονός αυτό μας δίνει, κατά την μελέτη της η λεκτροστατικής τους συμπεριφοράς, την δυνατότητα αντικατάστασης τους με ισοδύναμα σημειακά φορτία ευρισκόμενα στο κέντρο τους. η ) Πεδίο λεπτού, ευθυγράμμου σύρματος:. Με εξαίρεση την περιοχή των ά κρων, τα οποία στην περίπτωση ενός μακριού σύρματος παίζουν ασήμαντο ρόλο, το ηλεκτρικό πεδίο θα κατευθύνεται λόγω συμμετρίας ακτινικά. επιφάνεια Gauss επιφάνεια κυλίνδρου με άξονα το σύρμα, ακτίνα και μήκος l. Η ροή μέσω της παράπλευρης επιφάνειας, η οποία είναι και η ολική ροή μέσω του κυλίνδρου συνολικά, υπολογίζεται πολύ εύκολα με την βοήθεια της παρακάτω πρότασης: Η ροή μέσω τυχαίας ανοιχτής ή κλειστής επιφάνειας, καθ όλη την έκταση της οποίας εί 7 D. hassapis Phsik II T.E.I. Sees 7

13 8 ναι σταθερά το μέτρο της έντασης E και η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων E και E S cos E, ds : ισούται με το γινόμενο ( ) ds, ES E σταθ. Φ θ ( E,dS ) S E S cos θ [.8] S ολικό εμβαδόν της επιφάνειας σταθ. Σύμφωνα λοιπόν με τον νόμο του Gauss θα έχουμε: Φ Φ παραπλ. q / ε E εδώ το φορτίο θεωρείται ομοιόμορφα κατανεμημένο! q λl ( πl) q / ε E q πlε λl πlε παραπλ. λ dq / dl q / l γραμμικ ή πυκν ότητα ϕορτ ίου E q / ε [.8 ] θ λ E [.9] πε 3 η ) Πεδίο λεπτής, επίπεδης, φορτισμένης πλάκας απείρων διαστάσεων: ds ds E ds Σχήμα.: Υπολογισμός του πεδίου λεπτής, επίπεδης πλάκας απείρων διαστάσεων. σ E [.] ε E Η κατανομή φορτίου είναι επιφανειακή. Χαρακτηρίζεται από την επιφανειακή πυκνότητα φορτίου σ q/s σταθ., όπου q είναι το φορτίο τμήματος της επιφάνειας εμβαδού S. Λόγω συμμετρίας το πεδίο θα είναι κάθετο στο επίπεδο της πλάκας και η έντασή του σε όλα τα σημεία ενός επιπέδου, παραλλήλου προς την πλάκα θα είναι η ίδια. Επιφάνεια Gauss κύλινδρος ακτίνας, κάθετος προς την πλάκα, η οποία και τον διχοτομεί. Ο νόμος του Gauss μας δίνει: Φ Φ βάσεις ( ) E π q / ε q / ε o θ [.8 ] o ( ES ) βάσης q E π ε q / ε q σs βάσης σπ Ισχύει προσεγγιστικά και για επίπεδη, λεπτή πλάκα πεπερασμένων διαστάσεων μακριά από τα άκρα της πλάκας. Στην περίπτωση βέβαια αυτή η πλάκα πρέπει να είναι μονωτική, αν θέλουμε ομοιόμορφη κατανομή φορτίου. Αν είναι αδύνατο να βρεθεί κατάλληλη επιφάνεια Gauss, η ένταση του ηλεκτροστατικού πεδίου υπολογίζεται με την βοήθεια του νόμου του oulomb, κατά τον ακόλουθο τρόπο: α) Περίπτωση δύο ή περισσοτέρων σημειακών φορτίων: Αθροίζουμε διανυσματικά τις ε ντάσεις, οι οποίες οφείλονται φορτία q i : E i N E E i i E 4πε N i q i i i όπου i απόσταση μεταξύ q i και σημείου, στο οποίο υπολογίζουμε το πεδίο i μοναδιαίο διάνυσμα στην κατεύθυνση q i σημείο υπολογισμού [.] D. hassapis Phsik II T.E.I. Sees 8

14 9 dv dq q de Σχήμα.: Υπολογισμός πεδίου συνεχούς κατανομής φορτίου. β) Περίπτωση συνεχούς κατανομής φορτίου: dq ρdv de 4πε 4πε ρ E dv 4πε [.] (αν το φορτίο κατανέμεται επιφανειακά ή γραμμικά, α ντικαθιστούμε την πυκνότητα φορτίου ρdq/dv με την επιφανειακή πυκνότητα φορτίου σdq/ds ή γραμμική πυκνότητα φορτίου λdq/dl, και το στοιχείο όγκου dv με το στοιχείο επιφανείας ds ή μήκους dl αντίστοιχα) Παράδειγμα.6.: Να υπολογιστεί η ένταση του πεδίου φορτισμένου με φορτίο q δακτυλίου ακτίνας και αμελητέου πάχους στα σημεία του άξονα του. Λύση: dl θ ^ θ ^ P de de ^ cosθ cosθ! Το πεδίο υπολογίζεται από την σχέση [.] για γραμμική κατανομή φορτίου: E 4πε π λ dl {} Το φορτίο θεωρείται ομοιόμορφα κατανεμημένο): λ q/(π) π q {}: E dl {} 4πε π Λόγω συμμετρίας το πεδίο επί του άξονα του δακτυλίου έχει μόνο παράλληλη προς αυτόν συνιστώσα: π { } π σχ.π.6.: cosθ / f () l q q / E E E dl dl 4πε π 4πε π f () l dl ( π) π q q q π 4πε π 4πε 4πε / ( ) E 4πε q 3 / ( ).7 υναμικό του ηλεκτροστατικού πεδίου Δυνάμεις, των οποίων το έργο δεν εξαρτάται από την συγκεκριμένη διαδρομή, αλλά α πλώς, από το σημείο εκκίνησης (Α) και το σημείο άφιξης (Β), καλούνται συντηρητικές: Συντηρητικές δυνάμεις ανεξάρηττο Fds Fds Fds της διαδρομής ( ) Κατ επέκταση καλούνται συντηρητικά και τα αντίστοιχα πεδία δυνάμεων. Αποδεικνύεται ότι το ηλεκτροστατικό και το βαρυτικό πεδίο είναι, συντηρητικά. Συντηρητικά πεδία μπορούν να χαρακτηρισθούν πλήρως με την βοήθεια μιας μονόμετρης συναρτήσεως, του δυναμικού U( ): D. hassapis Phsik II T.E.I. Sees 9

15 Δυναμικό U Σ ενός ηλεκτροστατικού πεδίου σε σημείο Σ καλείται το πηλίκο του έργου δαπ. W Σ, το οποίο απαιτείται για να μετακινηθεί (συμβατικά θετικό) ηλεκτρικό φορτίο q από το μέχρι το σημείο Σ, προς το φορτίο q: δαπ. W Σ U Σ [.3] ( ) q Στην περίπτωση μη συντηρητικών πεδίων το δυναμικό U Σ και το έργο W Σ εξαρτάται από την διαδρομή και όχι μόνο από την θέση του σημείου Σ. Επομένως δεν θα μπορούσαμε να χαρακτηρίσουμε το πεδίο μονοσήμαντα. Η επιλογή του απείρου ( ) ως σημείου αναφοράςείναι καθαρά συμβατική. Το έργο δαπ. W Σ αποταμιεύεται υπό μορφή δυναμικής ενέργειας του εν λόγω φορτίου, η οποία ξαναδίνει ισόποσο έργο κατά την μετακίνηση του φορτίου από το σημείο Σ μέχρι το. δυναμικό U Σ ενός ηλεκτροστατικού πεδίου σε ένα σημείο Σ καλείται η δυναμική ενέργεια, την οποία κατέχει η θετική μονάδα φορτίου στο σημείο Σ σε σχέση με το, δηλαδή το έργο το οποίο παράγεται υπό του πεδίου κατά την μετακίνηση της θετικής μονάδας φορτίου από το σημείο Σ ως το : U Σ παρ. Eδυν.Σ WΣ ( )q ( )q [.3α] E. δυν Σ qu [.3β] (το q με το πρόσημό του!) Προκειμένου να μετακινήσουμε φορτίο q από το μέχρι κάποιο σημείο Σ πρέπει να α σκείται επί του φορτίου δύναμη F ίση και αντίθετη προς την δύναμη F του πεδίου. Επομένως το ολικό έργο, θα είναι: W δαπ. Σ Σ Σ F qe Fεξ ds Fds Σ U Σ εξ δαπ. Σ W Ed q s ( ) Σ [.4] Το αρνητικό πρόσημο στην παραπάνω σχέση μας δείχνει πως στην περίπτωση που η μετακίνηση γίνει στην κατεύθυνση της έντασης δεν απαιτείται έργο..7. Πρακτικός υπολογισμός του δυναμικού α) δυναμικό οφειλόμενο σε ένα σημειακό φορτίο: Λόγω σφαιρικής συμμετρίας του πεδίου, το δυναμικό εξαρτάται μόνο από την απόσταση. Γι αυτό το συμβολίζουμε σαν U. ^ ds E δαπ. [.]&[.3] W Q q [.4]: U E ds ds Q ( )q 4πε Q Q cos (, ds) 4 ds 4 ds Σχήμα.5: Υπολογισμός δυναμικού σημειακού φορτίου. πε πε Q ds ds d Q d cos ( ds, ) 4πε 4πε D. hassapis Phsik II T.E.I. Sees

16 Q 4πε U Q [.5] :δυναμικό σημειακού φορτίου Q σε απόσταση 4πε. Το φορτίο Q λαμβάνεται μαζί με το πρόσημό του. β) δυναμικό οφειλόμενο σε ομάδα σημειακών φορτίων Q i : Αρχή γραμμικής υπερθέσεως: N [.5 ] N Qi U U i [.6] (N συνολικός αριθμός φορτίων Q i ) 4πε i i γ) δυναμικό συνεχούς κατανομής φορτίου: dv dq Σχήμα.6 Σ i du 4πε dq 4πε ρdv ρ U dv 4πε [.7] (αν το φορτίο κατανέμεται επιφανειακά ή γραμμικά, αντικαθιστούμε την πυκνότητα φορτίου ρdq/dv με την επιφανειακή πυκνότητα φορτίου σdq/ds ή γραμμική πυκνότητα φορτίου λ dq/dl, και το στοιχείο όγκου dv με το στοιχείο επιφανείας ds ή μήκους dl αντίστοιχα). Παράδειγμα.7..: Να υπολογισθεί το δυναμικό στα σημεία του άξονα φορτισμένου με φορτίο q δακτυλίου, ακτίνας και αμελητέου πάχους. dl θ du Σχήμα Π.7.. π q U dl 4πε π 4πε Λύση: [.7 για γραμμική κατανομή φορτίου: U 4πε π λ dl {} λq/(π): το φορτίο θεωρείται ομοιόμορφα κατανεμημένο. Σχ. Π.7..: η απόσταση δεν εξαρτάται από το στοιχείο dl {}: / q ( ) q ( π) U / π 4πε ( ).8 Υπολογισμός της έντασης του ηλεκτροστατικού πεδίου από το δυναμικό του Το δυναμικό είναι ένα μονόμετρη συνάρτηση του χώρου: U U(,,). Πλήρες διαφορικό du της συνάρτησης U : U U U Δ U U ( d, d, d) U (,, ) du d d d [.8] Χαρακτηριστική ιδιότητα των πλήρων διαφορικών: ορισμός της βαθμίδας του δυναμικού: du U U du [.9 ] U U U gadu U [.] D. hassapis Phsik II T.E.I. Sees

17 όπου,, μοναδιαία διανύσματα των αξόνων χ, και αντίστοιχα. : Διανυσματικός διαφορικός τελεστής Nabla Η βαθμίδα του δυναμικού είναι το διάνυσμα εκείνο, του οποίου οι τρεις συνιστώσες, U, U και U, έχουν μέτρο ίσο τις μερικές παραγώγους U, U και ( ) ( ) ( ) U στο σημείο για το οποίο υπολογίζεται η βαθμίδα, αντίστοιχα. Κατά την μερική παραγώγιση ως προς μια μεταβλητή οι υπόλοιπες μεταχειρίζονται ως σταθερές: f f Π.χ. f (, ) 3 :, 3 Φυσική υπόσταση της βαθμίδας του δυναμικού: η βαθμίδα του δυναμικού είναι ένα διάνυσμα, το οποίο κατευθύνεται προς την περιοχή μέγιστης ανά μονάδα μήκους αύξησης του δυναμικού, ίσης προς την απόλυτη τιμή της βαθμίδας. [.4] : {} du Eds Uds E U gadu [.] Το αρνητικό πρόσημο δείχνει ότι η ένταση E του ηλεκτροστατικού πεδίου κατευθύνεται προς το σημείο μέγιστης ελάττωσης και όχι αύξησης του δυναμικού: η ένταση E του ηλεκτροστατικού πεδίου σε κάποιο σημείο του χώρου είναι ένα διάνυσμα, με φορά την κατεύθυνση μέγιστης ανά μονάδα μήκους ελάττωσης του ηλεκτροστατικού δυναμικού U, ίσης με την απόλυτη τιμή της έντασης E. Κανόνες υπολογισμού της βαθμίδας α, β σταθερές, φ, ψ μονόμετρα πεδία (συνεχόμενα παραγωγίσιμα) gad α gad (αφ βψ ) α gad φ β gad ψ gad (φ(ψ)) (dφ / dψ ) gad ψ gadu ( ) ( ) gad (φ ψ ) φ gad ψ ψ gadφ du d όπου U() κεντρικό πεδίο: η τιμή του εξαρτάται μόνο από την απόσταση από κάποιο συγκεκριμένο σημείο, το κέντρο του). μοναδιαίο διάνυσμα με κατεύθυνση από το κέντρο του πεδίου προς το σημείο που εξετάζουμε. Παράδειγμα.8.: Να υπολογισθεί η ένταση του πεδίου στα σημεία του άξονα φορτισμένου με φορτίο q δακτυλίου, ακτίνας και αμελητέου πάχους, όταν ξέρουμε ότι το δυναμικό αυτών dl q των σημείων ισούται με U 4 πε ( ) / θ de du Λύση: de [.]: E gadu {} D. hassapis Phsik II T.E.I. Sees

18 Για τα σημεία του άξονα του δακτυλίου το πεδίο είναι κεντρικό, μια και εξαρτάται μόνο από την απόστασή τους από το κέντρο του άξονα: κεντρικό πεδίο du d E gadu ( ) q / d d 4πε ( ) q 3/ q ( ) ( ) E 3/ 4 4πε πε ( ) Παράδειγμα.8.: Να υπολογισθεί το δυναμικό και η ένταση του πεδίου στα σημεία του άξονα λεπτού, ομοιόμορφα φορτισμένου, μονωτικού δίσκου ακτίνας και φορτίου q. [.7]για επιφανειακή πυκνότητα φορτίου: dl l de Λύση: σ U ds 4 πε {} Σαν στοιχείο επιφάνειας επιλέγουμε δακτύλιο ακτίνας l και πάχους dl, οπότε έχουμε ds πl dl. Εξάλλου η επιφανειακή πυκνότητα σ είναι σταθερή: / ( l ) σ πl dl σ l {}: U dl 4πε ε l σ σ [ l ] ( ) U {} ε ε [.]: E gadu {3} Για τα σημεία του άξονα του δίσκου το πεδίο είναι κεντρικό, μια και εξαρτάται μόνο από την απόσταση τους από το κέντρο του άξονα: σ ( ) ( ) / / du d ( ) σ ( ) E gadu d d ε ε / σ E ε ( ).9 ιαφορά δυναμικού (ή τάση) Διαφορά δυναμικού (ή τάση) μεταξύ δύο σημείων καλείται η διαφορά των δυναμικών των δύο αυτών σημείων: W V U U Eds [.3] δαπ. q Η διαφορά δυναμικού V U U μεταξύ δύο σημείων Α και Β ισούται με το έργο που απαιτείται προκειμένου να μετακινηθεί η μονάδα του θετικού φορτίου από το σημείο Α μέχρι το Β. τα θετικά φορτία κινούνται πάντα προς τα σημεία με μικρότερο, τα αρνητικά 3 D. hassapis Phsik II T.E.I. Sees 3

19 4 προς τα σημεία με μεγαλύτερο δυναμικό.. Ισοδυναμικές επιφάνειες Ισοδυναμικές καλούνται οι επιφάνειες, των οποίων όλα τα σημεία έχουν το ίδιο δυναμικό. Οι ισοδυναμικές επιφάνειες ενός σημειακού φορτίου είναι σφαιρικές με κέντρο το σημειακό Q!! φορτίο: U σταθ. σταθ. 4πε Η μετακίνηση ενός σημειακού φορτίου επάνω σε μια ισοδυναμική επιφάνεια ούτε παράγει ούτε απαιτεί έργο. Άρα η ένταση E του πεδίου είναι κάθετη σε όλα τα σημεία μιας ισοδυναμικής επιφάνειας και οι δυναμικές γραμμές διαπερνούν κάθετα τις ισοδυναμικές επιφάνειες.. Αγωγοί μέσα σε ηλεκτροστατικό πεδίο α) Αγωγοί: επιτρέπουν την εύκολη μετακίνηση ηλεκτρικών φορτίων μέσα από την μάζα τους. Π.χ. μέταλλα, ιονισμένα αέρια, ανθρώπινοι και ζωικοί ιστοί, ηλεκτρολυτικά διαλύματα οξέων, βάσεων και αλάτων, τήγματα αλάτων, νερό. β) Μονωτές: δεν επιτρέπουν την εύκολη μετακίνηση των ηλεκτρικών φορτίων μέσα στην μάζα τους. Π.χ. γυαλί, πλαστικά, πορσελάνη, καουτσούκ, χαρτί, ξύλο, διάφορα λιπαντικά. γ) Ημιαγωγοί ενδιάμεση κατηγορία. Η αγωγιμότητά τους επηρεάζεται σημαντικά από εξωτερικούς παράγοντες, όπως η θερμοκρασία. Είναι δε χαρακτηριστικό η αγωγιμότητα των ημιαγωγών αυξάνει με αυξανόμενη θερμοκρασία. Γνωστότεροι ημιαγωγοί είναι το Γερμάνιο (Ge) και το Πυρίτιο (Si). Η αγωγιμότητά τους μεταβάλλεται δραστικά με την ενσωμάτωση μικρών ποσοτήτων Βορίου (Β) και Αρσενίου (s) αντίστοιχα και μάλιστα κατά τρόπο απόλυτα ελεγχόμενο. Το γεγονός αυτό βρίσκει εφαρμογή στην κατασκευή τόσο μεμονωμένων ηλεκτρονικών στοιχείων όσο και ολοκληρωμένων κυκλωμάτων. Η εξήγηση της διαφορετικής συμπεριφοράς των υλικών, τα οποία ανήκουν στις τρεις παραπάνω κατηγορίες, βρίσκεται στην δομή τους: αγωγοί είναι εκείνα τα υλικά, τα οποία διαθέτουν ευκίνητους φορείς ηλεκτρικού φορτίου, μονωτές εκείνα τα οποία δεν διαθέτουν, και η μιαγωγοί εκείνα στα οποία ο αριθμός ευκίνητων φορέων επηρεάζεται αποφασιστικά από τις εξωτερικές συνθήκες. Η αγωγιμότητα των μετάλλων οφείλεται στα ελεύθερα ηλεκτρόνια. Ελεύθερα ηλεκτρόνια δημιουργούν και την αγωγιμότητα των καθαρών ημιαγωγών σε υψηλές θερμοκρασίες. Η αγωγιμότητα των ηλεκτρολυτών οφείλεται στη μετακίνηση θετικών και αρνητικών ιόντων. Ο αριθμός των ευκίνητων φορέων ανά μονάδα όγκου ποικίλει σημαντικά από υλικό σε υλικό. Έτσι οι τιμές της αγωγιμότητας καλύπτουν όλη την κλίμακα μεταξύ των καλυτέρων αγωγών και του τέλειου μονωτή, του κενού. Τα επόμενα ισχύουν για «καλούς» αγωγούς, των οποίων η αγωγιμότητα είναι της ίδιας τάξεως με εκείνη των μετάλλων. Κατάσταση ηλεκτροστατικής ισορροπίας (ΚΗΙ): δεν έχουμε κατευθυνόμενη κίνηση φορτίων στο εσωτερικό του. το ηλεκτρικό πεδίο στο εσωτερικό ενός αγωγού σε ΚΗΙ, είναι μηδέν. Διαφορετικά οι ευκίνητοι φορείς θα έπρεπε να κινούνται. Η παραπάνω πρόταση ισχύει, είτε πρόκειται για φορτισμένο, είτε για αφόρτιστο αγωγό, και ανεξάρτητα από το αν υπάρχουν ή όχι πεδία στο εξωτερικό του. D. hassapis Phsik II T.E.I. Sees 4

20 Επομένως Όλα τα σημεία ενός αγωγού σε ΚΗΙ έχουν το ίδιο δυναμικό. Η επιφάνεια ενός αγωγού σε ΚΗΙ είναι ισοδυναμική επιφάνεια. Οπότε Η ένταση του πεδίου επί της επιφάνειας αγωγού σε ΚΗΙ είναι κάθετη προς την επιφάνειά του. Σχήμα.8: Ηλεκτρική επαγωγή. 5 Στον μηδενισμό του πεδίου στο εσωτερικό ενός αγωγού σε ΚΗΙ στηρίζεται η ηλεκτροστατική θωράκιση: έ νας χώρος θωρακίζεται έναντι ηλεκτροστατικών πεδίων αν το περιβάλουμε με μεταλλικό περίβλημα ή πυκνό μεταλλικό δίκτυο, το λεγόμενο κλουβί του Faada: Όταν ο αγωγός βρεθεί μέσα σε ηλεκτροστατικό πεδίο, οι ευκίνητοι φορείς μετακινούνται κάτω από την επίδρασή του, οι μεν θετικοί κατά την φορά του, οι δε αρνητικοί αντίθετα προς αυτήν. Ο διαχωρισμός αυτός των φορτίων, γνωστός σαν ηλεκτρική επαγωγή, έχει σαν αποτέλεσμα την δημιουργία ενός πεδίου αντίθετης φοράς προς το Τα παραπάνω συμβαίνουν σε ελάχιστο χρόνο, όπως αποδεικνύεται πρακτικά. Εφαρμογές της ηλεκτροστατικής θωράκισης: Προστασία επιστημονικών οργάνων και διαφόρων ηλεκτρονικών συσκευών από ανεπιθύμητα ηλεκτροστατικά πεδία, δυνατότητα εργασίας πλησίον εγκαταστάσεων υψηλής τάσεως, επιβάτες αυτοκινήτων και αεροπλάνων δεν κινδυνεύουν από κεραυνούς. Στην ΚΗΙ όλο το πλεονάζον φορτίο ενός φορτισμένου (και μονωμένου) αγωγού κατανέμεται στην εξωτερική του επιφάνεια. επιφάνεια Gauss φορτισμένος αγωγός Αυτό προκύπτει εύκολα, αν εφαρμόσουμε τον νόμο του Gauss για μία κλειστή αμέσως κάτω από την πραγματική επιφάνεια του αγωγού. Η ροή μέσω της επιφάνειας θα είναι μηδέν, μια μηδέν είναι και η ένταση του πεδίου σε όλα της τα σημεία. Άρα και το φορτίο εντός της επιφάνειας θα είναι μηδέν. Εφαρμογή του παραπάνω φαινομένου αποτελεί το λεγόμενο δοχείο του Faada (βλ. σχήμα.9), το οποίο χρησιμοποιείται για την πλήρη αποφόρτιση ενός φορτισμένου αγωγού: Ο προς εκφόρτιση αγωγός φέρεται σε επαφή με το εσωτερικό κοίλου δοχείου. Το φορτίο του ρέει τότε προς την εξωτερική επιφάνεια του δοχείου, έως ότου ο αγωγός εκφορτισθεί πλήρως. Σχήμα. Σχήμα.9:.. Ένταση του πεδίου επί της επιφάνειας φορτισμένου αγωγού σε ΚΗΙ Ν. Gauss για στοιχειώδη κυλινδρική επιφάνεια, η οποία περιέχει το στοιχειώδες τμήμα ds της επιφάνειας του αγωγού (βλ. σχ..): Φ Φ Φπαραπλ. dq / ε βά σης Φοροφ ής D. hassapis Phsik II T.E.I. Sees 5

21 6 E ds Φ dq / ε EdS dq / ε Eεσωτερικό οροϕής dq: φορτίο στο στοιχείο επιφανείας ds. dq σ E [.4] ε ds ε [.4]: η ένταση του πεδίου στα σημεία που βρίσκονται κοντά στην επιφάνεια ενός φορτισμένου αγωγού είναι ανάλογη προς την επιφανειακή πυκνότητα φορτίου σ του αγωγού. Όπως τώρα αποδεικνύεται πειραματικά, η επιφανειακή πυκνότητα φορτίου άρα και η ένταση του πεδίου στα σημεία (και πλησίον) της επιφάνειας φορτισμένου αγωγού, ευρισκόμενου σε ΚΗΙ, είναι αντιστρόφως ανάλογη προς την ακτίνα καμπυλότητας της επιφάνειάς του: στις αιχμές μεγάλη, στα σημεία μικρής καμπυλότητας μικρή. Λόγω του ισχυρού πεδίου στις αιχμές ενός αγωγού, ο οποίος βρίσκεται μέσα στον αέρα, έχουμε σταδιακή εκφόρτιση του αγωγού μέσω έλξης των λίγων ιόντων, τα οποία πάντα υ πάρχουν στον αέρα. Μάλιστα η τιμή του πεδίου στα αιχμηρά τμήματα ενός αγωγού μπορεί να γίνει τόσο μεγάλη με αποτέλεσμα την ακαριαία εκφόρτιση του αγωγού που είναι γνωστή σαν εκκένωση αιχμής, όταν δε συνοδεύεται από φωτοβολία του αέρα και σαν εκκένωση στέμματος. Εφαρμογές: η ) Κατά τον σχεδιασμό εγκαταστάσεων υψηλής τάσης αποφεύγονται τα αιχμηρά τμήματα προς αποφυγή ηλεκτρικών εκκενώσεων σαν συνέπεια ισχυρών πεδίων. η ) Με την βοήθεια των αλεξικέραυνων πετυχαίνουμε, μέσω του ισχυρού πεδίου στην κορυφή τους, την ανταλλαγή φορτίου με την ατμόσφαιρα, χωρίς τις καταστροφικές συνέπειες του κεραυνού. 3 η ) Η εξαγωγή ηλεκτρονίων από ένα μέταλλο με την βοήθεια ηλεκτρικού πεδίου («εκπομπή πεδίου») απαιτεί εντάσεις της τάξεως 9 V/m. Με την βοήθεια μεταλλικών ακίδων ακτίνας μm πετυχαίνουμε τέτοιες εντάσεις με τάσεις μερικών μόνο εκατοντάδων Volts. Ακίδες αυτού του είδους χρησιμοποιούνται για την δημιουργία ελευθέρων ηλεκτρονίων σε υψηλό κενό και καλούνται κάθοδοι πεδίου. Παράδειγμα Σ..: Το πεδίο της γης είναι, σε μεγάλες περιοχές της ατμόσφαιρας, ακτινικό με φορά προς την επιφάνεια της γης. Η έντασή του σε ύψος m και 3m ισούται με Ν/ και 6 Ν/ περίπου, αντίστοιχα. Να υπολογισθεί το φορτίο, το οποίο περιέχεται σε κύβο ακμής m και Ε o ευρισκόμενο μεταξύ και 3m ύψους από την επιφάνεια της γης. (Η καμπυλότητα της γης να παραληφθεί) Λύση: Εφαρμόζουμε τον νόμο του Gauss για την επιφάνεια του κύβου, σκεπτόμενοι ότι η ολική ροή μέσω της παράπλευρης επιφάνειας είναι μηδέν, μια και η γωνία μεταξύ Ε β της έντασης E και του αντίστοιχου διανύσματος S είναι 9 ο : q 6 Φ ( E β Eο ) S q ε ( E β Eο ) S 8,854 ( 6) q 3,54 ε Αν υποθέσουμε ότι τα ιόντα, στα οποία οφείλεται το παραπάνω φορτίο είναι μονοσθενή, τότε στον παραπάνω κύβο περιέχονται Ν q / e 3,54 6 / (,6 9 ) Ν, 3 ιόντα/ 6 m 3 D. hassapis Phsik II T.E.I. Sees 6

22 7 Ο αντίστοιχος αριθμός των ελεύθερων ηλεκτρονίων ενός μετάλλου είναι περίπου φορές μεγαλύτερος! Παράδειγμα Σ..: Σφαίρα ακτίνας ρ είναι τοποθετημένη στο κέντρο σφαιρικού φλοιού α κτίνας Ρ (> ρ). Η σφαίρα και ο φλοιός έχουν φορτίο q και Q αντίστοιχα. Ζητείται η διαφορά δυναμικού μεταξύ τους. Λύση: U P U U P ρ U ρ ρ P ρ q Q Ρ {} q Eds 4πε q 4πε P ρ P ρ Το σύστημα σφαίρας φλοιού αποτελεί σφαιρική κατανομή φορτίου. Το πεδίο μεταξύ σφαίρας και φλοιού δίδεται από την σχέση [.7]: q E {} 4πε Η διαφορά του δυναμικού μεταξύ των δύο σφαιρών υπολογίζεται από την σχέση [.3α]: ds ds ds d q 4πε P ρ q d 4πε P [ ] Αν η σφαίρα είναι θετικά φορτισμένη (q>), η παραπάνω διαφορά είναι αρνητική, ο φλοιός δηλαδή έχει μικρότερο δυναμικό από την σφαίρα. Αν συνδέσουμε τότε την σφαίρα με τον φλοιό μέσω ενός σύρματος, όλο το φορτίο της σφαίρας θα κινηθεί προς τον φλοιό μια και τα θετικά φορτία κινούνται πάντα προς χαμηλότερο δυναμικό. Το αποτέλεσμα αυτό είναι ευνόητο, μια και το σύστημα (σφαίρα σύρμα φλοιός) αποτελεί έναν ενιαίο αγωγό οπότε στην ΚΗΙ όλο το φορτίο του κατανέμεται στην εξωτερική του επιφάνεια. ος τρόπος επίλυσης: Σύμφωνα με την αρχή της γραμμικής υπερθέσεως, το δυναμικό έκαστου αγωγού θα είναι το άθροισμα των επιμέρους δυναμικών: U U P ρ 4πε 4πε Q P 4πε Q P 4πε q P q ρ Ο πρώτος προσθετέος είναι το δυναμικό λόγω του φορτίου του φλοιού, ο δεύτερος λόγω του φορτίου της σφαίρας. (Πήραμε υπόψη ότι και οι δύο κατανομές φορτίου είναι σφαιρικές (οπότε το δυναμικό στο εξωτερικό τους δίδεται από την σχέση [.5]), και ότι το δυναμικό στο εσωτερικό ενός αγωγού σε ΚΗΙ ισούται με εκείνο της επιφάνειάς του.) q Για την διαφορά δυναμικού παίρνουμε: U P U ρ 4πε P ρ ρ D. hassapis Phsik II T.E.I. Sees 7

23 8. ιηλεκτρικά Οι αγωγοί έχουν την ικανότητα να θωρακίζουν το εσωτερικό τους από ηλεκτροστατικά πεδία. Οι μονωτές όχι, μια και στο εσωτερικό του δεν υπάρχουν ευκίνητα φορτία. Το ηλεκτρικό πεδίο διαπερνά τα μονωτικά υλικά. Γι αυτό οι μονωτές χαρακτηρίζονται και ως διηλεκτρικά.. Πυκνωτές Πυκνωτής καλείται κάθε ζεύγος γειτονικών, μονωμένων αγωγών, τυχαίου σχήματος και γεωμετρίας. Οι δύο αγωγοί ονομάζονται οπλισμοί. Ανάλογα με το σχήμα τους διακρίνουμε σφαιρικούς, κυλινδρικούς και επίπεδους πυκνωτές. Σαν μονωτικό μεταξύ των δύο οπλισμών παρεμβάλλεται κενό ή κάποιο άλλο υλικό, το οποίο καλείται διηλεκτρικό. Εφαρμογές: Αποθήκευση ηλεκτρικής ενέργειας, με την μορφή ηλεκτρικού πεδίου. Μορφές πυκνωτών: α) Πυκνωτές κενού: Οι οπλισμοί είναι κλεισμένοι σε δοχεία υψηλού κενού. Χρησιμοποιούνται όπου υπάρχουν πολύ υψηλά και γρήγορα μεταβαλλόμενα δυναμικά. β) Φυλλωτοί πυκνωτές: Οι οπλισμοί τους αποτελούνται από λεπτά μεταλλικά ή συνθετικά φύλλα και τυλίγονται για να έχουν μικρό όγκο (βλ. σχ. a). γ) Ηλεκτρολυτικοί πυκνωτές: Ο ένας οπλισμός είναι ηλεκτρολύτης, εντός του οποίου είναι βυθισμένος ο δεύτερος μεταλλικός οπλισμός, ο οποίος περιβάλλεται από λεπτό στρώμα οξειδίου, το διηλεκτρικό (βλ. σχ. b ). Έχουν σχετικά μεγάλη χωρητικότητα, το οξείδιο όμως αντέχει μόνο σε χαμηλές τάσεις λειτουργίας. Πρέπει εξάλλου να πολώνονται σωστά (κίνδυνος έκρηξης!), οπότε χρησιμοποιούνται μόνο σε κυκλώματα συνεχούς ρεύματος. δ) Μεταβλητοί πυκνωτές: Επιτρέπουν την συνεχόμενη μεταβολή της χωρητικότητας τους μέσω μεταβολής της επιφάνειας των οπλισμών τους (βλ.σχ.c). διηλεκτρικό πυκνωτής πηγή μέταλλο ηλεκτρολύτης a b οξείδιο μέταλλο c Σχήμα : Οι πυκνωτές είναι εφοδιασμένοι με ακροδέκτες προκειμένου να είναι δυνατή η φόρτοεκφόρτιση τους. Οι οπλισμοί φορτίζονται με ίσα και αντίθετα φορτία. συμβολισμός πυκνωτή: Όπως θα δούμε στο κεφάλαιο.8, κάποιοι μονωτές χαρακτηρίζονται ως σιδηροηλεκτρικά. D. hassapis Phsik II T.E.I. Sees 8

24 . Χωρητικότητα Το δυναμικό U ενός φορτισμένου αγωγού τυχαίου σχήματος είναι ανάλογο προς το ολικό του φορτίο Q. Άρα ο λόγος του φορτίου Q ως προς το δυναμικό U είναι σταθερός: Q σταθ. : χωρητικότητα αγωγού [.] U Η χωρητικότητα ενός αγωγού εξαρτάται από την γεωμετρική μορφή, τις διαστάσεις του και το περιβάλλον μέσο. [.]: η χωρητικότητα ενός αγωγού ισούται με το φορτίο, το οποίο πρέπει να απομακρύνουμε, ώστε να ελαττωθεί το δυναμικό του κατά μια μονάδα. Στην περίπτωση πυκνωτή στην θέση του δυναμικού μπαίνει η διαφορά δυναμικού μεταξύ των οπλισμών του: Q χωρητικότητα πυκνωτή: [.α] V όπου: V διαφορά δυναμικού μεταξύ των οπλισμών Q φορτίο του θετικού οπλισμού Η χωρητικότητα ενός πυκνωτή περιγράφει ποσοτικά το φορτίο, το οποίο μπορούμε να αποθηκεύσουμε στον πυκνωτή, όταν τον συνδέσουμε με μια πηγή συγκεκριμένης τάσεως. Η χωρητικότητα ενός πυκνωτή εξαρτάται, μόνο από την μορφή του, τις διαστάσεις του και το διηλεκτρικό μεταξύ των οπλισμών του. Πλεονέκτημα ενός πυκνωτή: Όσο πιο μακριά βρίσκονται οι οπλισμοί τόσο μεγαλύτερη είναι η διαφορά δυναμικού μεταξύ τους και αντίστροφα. Ανάλογα μεγαλώνει και η τάση της πηγής, την οποία πρέπει να χρησιμοποιήσουμε προκειμένου να αποθηκεύσουμε μια συγκεκριμένη ποσότητα φορτίου. Με άλλα λόγια, όσο αυξάνει η απόσταση μεταξύ των οπλισμών του (οπότε ο πυκνωτής τείνει να εκφυλισθεί σε σύστημα δύο ανεξαρτήτων αγωγών), τόσο ελαττώνεται η χωρητικότητα του πυκνωτή. [ Q] Μονάδες χωρητικότητας : [. α] [] F( aad) [ V ] V Το Faad είναι πολύ μεγάλη μονάδα: π.χ. επίπεδος πυκνωτής, του οποίου οι οπλισμοί α πέχουν mm, με αέρα ως διηλεκτρικό, θα έπρεπε να έχει οπλισμούς εμβαδού km περίπου, ώστε η χωρητικότητα του να είναι ίση με F! Έτσι στην πράξη χρησιμοποιούνται τα υ ποπολλαπλάσια μf ( 6 F) και p F ( F)..3 Υπολογισμός της χωρητικότητας ορισμένων μορφών πυκνωτών α) Επίπεδος πυκνωτής: Με την προϋπόθεση πως το πεδίο είναι περιορισμένο στον μεταξύ των οπλισμών χώρο και είναι ομογενές, γεγονός το οποίο λίγο μόνον απέχει από την πραγματικότητα, έχουμε: Q [.α]: {} V Νόμος του Gauss: Η ροή μέσω της επιφάνειας Gauss του σχήματος.(b) ισούται με την ροή μέσω του μεταξύ των οπλισμών ευρισκόμενου τμήματός της εμβαδού S: 9 D. hassapis Phsik II T.E.I. Sees 9

25 Gauss ι ds a b Σχήμα.: E σταθ Gauss Φ ES Q / ε Q ε ES {}: cos θ (S επιφάνεια οπλισμού) G G [.3α]: V U U E ds Eds E ds V El l [.3] Σ l ΕΡ ΓΑ ΤΕ ΣΤ Ι Σ Η ΕΡ ΡΙ Ρ Ο Ω Φ Ν ΥΣ ΙΚ Η l Η [.3] ισχύει για όλα τα ομογενή πεδία και μας επιτρέπει να υπολογίζουμε την διαφορά δυναμικού V μεταξύ δύο τυχαίων σημείων ενός ομογενούς πεδίου, των οποίων η απόσταση κατά την διεύθυνση της έντασης Ε ισούται με l. Χωρητικότητα επίπεδου πυs Q ε ES κνωτή με κενό σαν διηλεκτρι [.4] [.3] &{} {}: ε l V El κό S επιφάνεια οπλισμού, l απόσταση οπλισμών ds.4 Συνδεσμολογίες πυκνωτών [.4] ως [.6]: η χωρητικότητα ενός πυκνωτή αυξάνεται, όσο ελαττώνεται η απόσταση των οπλισμών του. Χωρητικότητα κυλινδρικού πυκνωτή ακτίνων και και μήκους [.6] l (l>>>, διηλεκτρικό κενό) [.5] γ) Κυλινδρικός πυκνωτής: οπλισμοί ομοαξονικοί κύλινδροι ακτίνας και (βλ. σχ..3). πl ε ln χωρητικότητα σφαιρικού πυκνωτή ακτίνων > (διηλεκτρικό κενό) Σχήμα.: Q 4πε Ρ ds β) Σφαιρικός πυκνωτής: οπλισμοί ομοκεντρες σφαίρες ακτίνας και (βλ. σχ..). όπου Gauss Σχήμα.3: Κάθετη τομή κυλινδρικού πυκνωτή. α) Παράλληλη σύνδεση: V Vολ 3 q q q3 Η τάση μεταξύ των οπλισμών είναι για όλους τους πυκνωτές η ίδια: V V V V3 Vολ V {} Το ολικό φορτίο ισούται με το άθροισμα των επιμέρους D. hassapis Phsik II T.E.I. Sees

26 φορτίων : Q qολ q q q3 {} Ισοδύναμη ή ολική χωρητικότητα : q {} ολ Q q q q3 q q q3 3. V V {} V V V V ολ γενικ ά U k [.7] Ολική χωρητικότητα παράλληλης συστοιχίας k πυκνωτών i i V V V 3 3 V β) Πυκνωτές σε σύνδεση κατά σειρά: Τα φορτία των ενδιάμεσων οπλισμών είναι επαγωγικά. Το φορτίο όλων των πυκνωτών είναι το ίδιο και ίσο με το ολικό φορτίο της συστοιχίας: q q q 3 q ολ Q {3} Η ολική τάση ισούται με το άθροισμα των επιμέρους τάσεων: V V ολ V V V 3 {4} ολική χωρητικότητα : V V V 4 V 3 V 5 U q V γενικ ά ολ { 3 Q } V {} 4 V Q V V 3 V V V V V V 3 Q Q Q Q ολ 3 k i i [.8] ολική χωρητικότητα κατά σειρά συστοιχίας k πυκνωτών Παράδειγμα.5.: Να υπολογιστεί η τάση στα άκρα κάθε πυκνωτή του διπλανού κυκλώματος, όταν οι πυκνωτές έχουν φορτισθεί πλήρως. Να γίνει εφαρμογή για την περίπτωση: U9V και i α F (i,, 5) Λύση: Από το κάτω σχήμα προκύπτει: UV V V 5 {}, V 5 V 3 V 4 {} α α α 34 {} 5 α α (F) Από την θεωρία γνωρίζουμε: V i Q i / i (i,, 5) {3} Απαιτούνται τα φορτία Q i των πυκνωτών. Από το κάτω σχήμα προκύπτει: Q Q Q 345 Q ολ ολ U {4} Η ολική χωρητικότητα ολ υπολογίζεται κατά τα γνωστά: α 34 α (F) α {6} {5} { 6} α α 3α / α 3α / α 3α / α α 345 ολ ολ 3 3α / 3 ολ α( F ) {7} 4α 8 {} { } 345 {7} {4}: Q ολ ολ U α 9 Q ολ α () Q Q Q {8} 8 8 D. hassapis Phsik II T.E.I. Sees

27 {8} & {3: V Q {} 8 7α / 8 α 7 V (V ), 8 V Q 7 V V (V ), 8 Q Q V σχήμα V {} 8 α {} 3α Q V 5 ( V ) (Εναλλακτικός τρόπος υπολογισμού της τάσης V 5 : Από την {} προκύπτει, V 5 U V V Αντικαθιστούμε και υπολογίζουμε.) Τα φορτία Q 3 και Q 4 των πυκνωτών 3 και 4 υπολογίζονται, τέλος, ως εξής: Όπως φαίνεται από το σχήμα της συνδεσμολογίας, ισχύει σχήμα Q Q5 Q Q Q Q5 Q 5 V 5 α α Q α () Q 3 Q Q3 Όποτε V 3 9 α / 8 9 V 3 (V ) και α Ενέργεια μιας κατανομής φορτίου V Q α / 8 9 V 4 (V ) α 8 Για να φορτισθεί ένας αγωγός δαπανάται έργο. Ο υπολογισμός του γίνεται, θεωρώντας το ολικό φορτίο Q μετακινείται κατά απειροστά ποσά dq, ώστε κατά την μετακίνησή τους να μην μεταβάλλεται ουσιαστικά το πεδίο και επομένως το δυναμικό του αγωγού: W U dq du Q dw u dq dw u du dw udu W U QU [.9] Στην περίπτωση ενός πυκνωτή πρέπει να αντικαταστήσουμε το δυναμικό U με την τάση V μεταξύ των οπλισμών. Το έργο φόρτισης δεν χάνεται (μια και το ηλεκτροστατικό πεδίο είναι συντηρητικό), αλλά αποταμιεύεται στον αγωγό ή πυκνωτή με την μορφή ηλεκτρικής δυναμικής ενέργειας: Ενέργεια φορτισμένου πυκνωτή: 4 Q W V QV [. 9α].5. Το ηλεκτρικό πεδίο ως φορέας της ηλεκτρικής ενέργειας Η ενέργεια ενός επίπεδου πυκνωτή χωρητικότητας ε S/l, θα είναι σύμφωνα με την [.9α]: S V El S V ε ( El ) W V ε W ε E v l l όπου v S. l όγκος του χώρου μεταξύ των οπλισμών, δηλαδή του χώρου μέσα στον οποίο εκτείνεται το πεδίο. Η ενέργεια του πυκνωτή μπορεί να θεωρηθεί αποθηκευμένη μέσα στο ηλεκτρικό του πεδίο με μια πυκνότητα ενέργειας ww/v ε Ε / ή στην γενική περίπτωση ενός μη ομογενούς πεδίου dw ε E : Πυκνότητα ενέργειας του ηλεκτρικού πεδίου [.] d v w Η αντίληψη για την φύση του ηλεκτρικού πεδίου, ως φορέα της ηλεκτρικής ενέργειας, έχει τις αρχές της στους Mawell και Faada. Η ύπαρξη των ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων δείχνει ότι δεν πρόκειται απλώς για μια δυνατότητα ερμηνείας της εξίσωσης [.], αλλά για μια πραγματικότητα. D. hassapis Phsik II T.E.I. Sees

28 .6 ίπολα Η συμπεριφορά των μονωτικών υλικών εντός του ηλεκτρικού πεδίου πηγάζει από εκείνη των λεγόμενων ηλεκτρικών διπόλων, τα οποία είτε υπάρχουν ευθύς εξ αρχής είτε εμφανίζονται, αφού το μονωτικό υλικό δεχθεί την επίδραση του ηλεκτρικού πεδίου. Ηλεκτρικό δίπολο ζεύγος δύο ίσων και αντίθετων σημειακών φορτίων ευρισκομένων πολύ κοντά το ένα στο άλλο. Οι ηλεκτρικές ιδιότητες ενός δίπολου περιγράφονται με την βοήθεια ενός διανύσματος, το οποίο καλείται q l q Διπολική ροή: p ql [.] Για παράδειγμα το ηλεκτρικό δυναμικό του δίπολου σε κάποιο σημείο Σ το οποίο απέχει απόσταση >>l από το κέντρο του δίπολου είναι: [.] ql cos θ p cos θ p U [.](Δυναμικό διπόλου διπολικής ροπής p ) 4πε 4πε 4πε όπου είναι το μοναδιαίο διάνυσμα με κατεύθυνση προς το σημείο Σ. [.]: τα σημεία της μεσοκαθέτου στον άξονα του διπόλου έχουν δυναμικό μηδέν, ενώ τα σημεία του άξονα του διπόλου έχουν το μέγιστο δυναμικό, το οποίο ελαττώνεται με το τετράγωνο της. Το δίπολο μέσα σε ομογενές ηλεκτρικό πεδίο: Όταν το δίπολο βρεθεί μέσα σε ομογενές ηλεκτρικό πεδίο έντασης E, δέχεται την επίδραση ζεύγους δυνάμεων F qe και F, το οποίο ασκεί επί του δίπολου μηχανική ροπή M l F l q E [.] ql E M p E Μ pεsinθ [.3] F l q p θ q F E 3 [.3]: η μηχανική ροπή μηδενίζεται, όταν η γωνία θ γίνει επίσης ίση με μηδέν, όταν δηλαδή ο άξονας του διπόλου γίνει παράλληλος προς την διεύθυνση του πεδίου. Στην πράξη χαρακτηρίζουμε σαν δίπολο οποιοδήποτε σύστημα φορτίων, του οποίου το δυναμικό (σε απομακρυσμένα σημεία) δίδεται, από την σχέση [.]. Σχήμα.6 Τα μόρια, στα οποία δεν συμπίπτουν τα κέντρα κατανομής των θετικών και αρνητικών τους φορτίων, έχουν (μόνιμη) διπολική ροπή αποτελούν δείγματα φυσικών διπόλων. Τα αντίστοιχα υλικά ονομάζονται πολικά (π.χ. νερό/η Ο, υδροχλώριο /Ηl, αμμωνία / ΝΗ 3 ). Τα υπόλοιπα ονομάζονται μη πολικά..7 Επίπεδος πυκνωτής με διηλεκτρικό ιηλεκτρική σταθερά Όπως παρατήρησε πρώτος ο Faada, όταν μεταξύ των οπλισμών φορτισμένου και απομονωμένου επίπεδου πυκνωτή τοποθετηθεί ένα μονωτικό, η χωρητικότητά του αυξάνεται από σε. Το πηλίκο της χωρητικότητας ενός επίπεδου πυκνωτή, όταν ολόκληρος ο χώρος μεταξύ των οπλισμών του είναι γεμάτος με κάποιο διηλεκτρικό, προς την χωρητικότητα του ίδιου D. hassapis Phsik II T.E.I. Sees 3

29 4 πυκνωτή στο κενό καλείται διηλεκτρικός αριθμός ε : V E : διηλεκτρικός αριθμός V E [.4] ε Οι τιμές του διηλεκτρικού αριθμού ε ορισμένων μονωτικών περιέχονται στον Πίνακα... Σημειωτέον πρόκειται για ομογενή (διαφορετικά ο ε μεταβάλλεται από σημείο σε σημείο) και ισότροπα (διαφορετικά η τιμή του ε εξαρτάται από την κατεύθυνση) διηλεκτρικά. Εφαρμογές: Διηλεκτρικά υψηλού διηλεκτρικού αριθμού επιτρέπουν την κατασκευή πυκνωτών μεγάλης χωρητικότητας και μικρών διαστάσεων. Συνθετικά κεραμικά διηλεκτρικά, τα οποία περιέχουν οξείδιο του Βαρίου (ao) και οξείδιο του Τιτανίου (TiO), έχουν για παράδειγμα διηλεκτρικούς αριθμούς της τάξεως 3 4. Η χρήση των διηλεκτρικών έχει επιπλέον και ένα άλλο «μηχανικό» πλεονέκτημα: εμποδίζει τους οπλισμούς του πυκνωτή να έρθουν σε επαφή αυξάνοντας έτσι την ανθεκτικότητα των πυκνωτών σε μηχανικές καταπονήσεις, όπως π.χ. είναι οι κραδασμοί. Κατανόηση της συμπεριφοράς των διηλεκτρικών εντός του ηλεκτρικού πεδίου με βάση τα πειραματικά δεδομένα για τον επίπεδο πυκνωτή. (Προϋπόθεση: το πεδίο μεταξύ των οπλισμών θεωρείται ομογενές, ενώ το διηλεκτρικό θεωρείται ομογενές και ισότροπο): Όταν ο χώρος μεταξύ των οπλισμών επίπεδου πυκνωτή γεμίσει πλήρως με κάποιο διηλεκτρικό, η χωρητικότητα του πυκνωτή αυξάνει κατά έναν παράγοντα ε, τον διηλεκτρικό αριθμό που είναι χαρακτηριστικός για το συγκεκριμένο διηλεκτρικό. Η παραπάνω αύξηση της χωρητικότητας του επίπεδου πυκνωτή είναι αποτέλεσμα της αντίστοιχης ελάττωσης του ηλεκτρικού πεδίου στο εσωτερικό του διηλεκτρικού, η οποία με την σειρά της οφείλεται στην πόλωση του διηλεκτρικού, την εμφάνιση δηλαδή φορτίων πολώσεως στην επιφάνεια του διηλεκτρικού: θετικών στην πλευρά που εφάπτεται τον αρνητικά φορτισμένο οπλισμό και αρνητικών στην απέναντι. Πεδίο εντός ομογενούς και ισότροπου διηλεκτρικού ευρισκόμενου εντός του ομογενούς πεδίου επίπεδου πυκνωτή. Q E E E p : συνολικό πεδίο Q p Q p Q E : πεδίο του φορτίου του πυκνωτή E E p : πεδίο του φορτίου πολώσεως E p E σ / ε : μεταξύ των οπλισμών E E p σ p / ε : εντός του διηλεκτρικού σ : επιφανειακή πυκνότητα των οπλισμών Σχήμα.9: σ p : επιφανειακή πυκνότητα του διηλεκτρικού Η πόλωση του διηλεκτρικού έχει σαν αποτέλεσμα (βλ. σχήμα.9) την δημιουργία ενός νέου ηλεκτρικού πεδίου, του πεδίου πολώσεως E p, το οποίο έχει αντίθετη φορά προς το πεδίο E του φορτίου των οπλισμών. Αποτέλεσμα του γεγονότος αυτού είναι η ελάττωση του συνολικού πεδίου E E E p κατά τον παράγοντα ε : πείραμα (πεδίο στο εσωτερικό του ομογενούς και ισότροπου διηλεκτρικού επίπεδου πυκνωτή) E E E p E / ε [.5] (Η τιμή αυτή του συνολικού πεδίου ισχύει για την συγκεκριμένη γεωμετρία του επίπεδου πυ D. hassapis Phsik II T.E.I. Sees 4

30 5 κνωτή, του οποίου όλος ο χώρος μεταξύ των οπλισμών καταλαμβάνεται από διηλεκτρικό.) Θεωρώντας την φορά του πεδίου E Ep σ p/ ε E E Ep Ep ( ) E ε ε E ε dq p dl Q Q E ως θετική η παραπάνω σχέση γράφεται: σ p ε( ε E ) {} Η πόλωση του διηλεκτρικού οφείλεται στην εμφάνιση διπολικής ροπής εντός του διηλεκτρικού, η οποία είναι αποτέλεσμα είτε της μετακίνησης δέσμιων φορτίων στο εσωτερικό των α τόμων ή μορίων είτε του προσανατολισμού φυσικών μοριακών διπόλων. Κάθε στοιχειώδης κύβος dv ds dl(βλ. σχ..) αποκτά στοιχειώδη διπολική ροπή dp: dp dp dq pdl σ pdsdl dp σ pdv σ p {} dqp σ pds dv Για την ποσοτική περιγραφή του φαινομένου της πόλωσης ορίζεται η Διηλεκτρική πόλωση P ενός διηλεκτρικού συνολική διπολική ροπή της (στοιχειώδους) μονάδας όγκου του διηλεκτρικού: P, σγκ ύ ρισημε { : } dp σ p ε( ε )E [.6] dv ε ( ε )E ε χe [.7] P όπου χ ε :διηλεκτρική επιδεκτικότητα [.7α] Στην συγκεκριμένη περίπτωση του επίπεδου πυκνωτή η επιφανειακή πυκνότητα του φορτίου πολώσεως σ p, το πεδίο πολώσεως E p που δημιουργεί και η διηλεκτρική πόλωση συνδέονται μέσω των ακολούθων εξισώσεων P : σ p P Ep P/ ε Παρατηρήσεις : η ) Η [.7] ισχύει για ομογενή και ισότροπα διηλεκτρικά ακόμη και αν το πεδίο E είναι μη ομογενές, αφού η διηλεκτρική πόλωση P χαρακτηρίζει εξ ορισμού μια α πειροστή περιοχή dv του διηλεκτρικού. η ) Σύμφωνα με την σχέση [.7] η πόλωση έχει την ίδια διεύθυνση και φορά με την ένταση του πεδίου. Στην περίπτωση μη ισότροπου η διηλεκτρική επιδεκτικότητα χ δεν ίναι πλέον μονόμετρο μέγεθος αλλά τανυστής ου μεγέθους, με αποτέλεσμα τα διανύσματα ε P και E να μην έχουν πλέον την ίδια διεύθυνση: χ χ χ3 χ χ χ χ 3 χ3 χ3 χ 33 P i dl dp dq p dv Σχήμα. χ : τανυστής διηλεκτρικής επιδεκτικότητας (Οι δείκτες,, 3, χρησιμοποιούνται συνήθως αντί των,,.) Ο συντελεστής χ ij καθορίζει την διηλεκτρική πόλωση την οποία προκαλεί κατά την κατεύθυνση i η συνιστώσα Ε j του ηλεκτρ. πεδίου E. ε ij E j π.χ. P ε( χe χe χ3e3) j Ιδιαίτερα σε πιο πολύπλοκες περιπτώσεις από αυτήν του επίπεδου πυκνωτή με ομογενές και ισότροπο διηλεκτρικό. D. hassapis Phsik II T.E.I. Sees 5

31 6 Ο τανυστής της διηλ. επιδεκτικότητας είναι πάντα συμμετρικός: χ ij χ ji 3 η ) Σύμφωνα με την [.7] το αποτέλεσμα (δηλ. η πόλωση) είναι ανάλογο προς το αίτιο (δηλ. την ένταση του ηλ. πεδίου), πράγμα το οποίο ισχύει για όλα τα «γραμμικά υλικά». Υλικά, τα οποία δεν ακολουθούν τον κανόνα αυτό δεν θεωρούνται διηλεκτρικά αλλά σιδηροηλεκτρικά (σε αντιστοιχία με τα σιδηρομαγνητικά). Η επιδεκτικότητά τους εξαρτάται τόσο από την ένταση του πεδίου όσο και από την προϊστορία τους. Αυτό σημαίνει, η σχέση μεταξύ της διηλεκτρικής πόλωσης P και της έντασης E δεν είναι πλέον γραμμική. Η πόλωση των υλικών αυτών μπορεί να είναι διάφορη του μηδενός ακόμη και όταν δεν υπάρχει εξωτερικό πεδίο. Σε ορισμένες περιπτώσεις η πόλωση παραμένει αμετάβλητη ακόμη και υπό την επίδραση ισχυρών ηλεκτρικών πεδίων, μεταβάλλεται όμως εάν το υλικό θερμανθεί. Τέτοια υλικά χαρακτηρίζονται συνήθως σαν πυροηλεκτρικά. Ο σιδηροηλεκτρισμός εξαφανίζεται συνήθως, όταν η θερμοκρασία ξεπεράσει μια χαρακτηριστική για το υλικό τιμή. Το μέχρι τότε σιδηροηλεκτρικό υλικό μεταβαίνει σε μια κατάσταση, η οποία χαρακτηρίζεται σαν παραηλεκτρική. Ο όρος αυτός χρησιμοποιείται και πάλι σε αντιστοιχία με τον παραμαγνητισμό, και υποδηλώνει κυρίως την γρήγορη πτώση της διηλεκτρικής σταθερής με αυξανόμενη θερμοκρασία..8 Φορτίο πολώσεως. Ηλεκτρική διαταραχή (ή μετατόπιση ) ΣΕΡΡΩΝ α) Επιφανειακή πυκνότητα του φορτίου πολώσεως επί της επιφάνειας διηλεκτρικού, το οποίο περιβάλλεται από κενό Στην γενική περίπτωση τυχαίου προσανατολισμού της διηλεκτρικής πόλωσης (βλ. σχ..), μπορούμε να την αναλύσουμε σε μια κάθετη ( P κ ) και μια παράλληλη ( P π ) προς την επιφάνεια συνιστώσα. Η επιφανειακή πυκνότητα σ p θα ισούται κατά τα γνωστά με το μέτρο Ρ κ n P π P κ θ θ της κάθετης προς την επιφάνεια συνιστώσας: P σχ.. n σ p Pκ P cosθ P cosθ n σ p (P n) [.8] P (επιφανειακή πυκνότητα του φορτίου πολώσεως επί κ P n P cosθ της επιφάνειας διηλεκτρικού, το οποίο περιβάλλεται από κενό.) Σχήμα.ΤΕΙ n μοναδιαίο διάνυσμα, κάθετο επί της επιφάνειας και με φορά προς το εξωτερικό του διηλεκτρικού. Ολικό φορτίο πολώσεως επί της εξωτερικής επιφάνειας διηλεκτρικού, το οποίο περιβάλλεται, από κενό: dq p [.8]: σ p : (P n) dqp (P n)ds P ds Q p ds P ds [.8α] Επειδή το διηλεκτρικό είναι ηλεκτρικά ουδέτερο, το ολικό φορτίο πολώσεως στο εσωτερικό της κλειστής επιφάνειας S θα είναι: Q p P ds [.8β] S D. hassapis Phsik II T.E.I. Sees 6